[재미있는 수학]쇼 곱하기 쇼는 쇼?

옛날 옛적 쇼곱하기쇼는 쇼라는 광고가 있었더랬지요.

그런데 꼭 장난치는 친구들이 저걸로 방정식을 세웠습니다.

'쇼곱하기 쇼는 쇼에서 쇼는 영하고 일이네. 쇼곱하기쇼곱하기쇼는 쇼에서는 0, 1, -1이네'

 그 때는 저 두개밖에 계산을 못 할 지식수준이었지만 이제는 일반적으로 해를 구할 수 있게 되었습니다. 우선 저 식에서 0은 너무 당연한 해(전문용어로는 trivial solution이라고 부릅니다.)이므로 버리고 '쇼=x'로 치환하면 다음과 같은 일반적인 식을 얻습니다.

 그렇다면 이 식을 어떻게 풀어야 할까요? 3차나 4차까지는 일반해를 구할 수가 있습니다.

 이게 3차의 해입니다. 이제 n=2,3,4일 때의 해를 복소평면의 단위원 위에 표시해봅시다. 복소평면이 어려우신 분에게는 좌표평면에서의 y축을 실수부가 아니라 허수부라 생각하신 뒤, 복소수를 실수부와 허수부로 나누어서 일반적인 좌표평면에 그리듯이 점을 찍으시면 됩니다. 1은 x축위에 있겠구요, 허수 3i는 y축 위에 있겠네요. 그림을 다 그리신 분은 특정한 규칙을 발견하셨을텐데요, 그 전에 잠시! 고등학교 수학에서 하나만 더 복습합시다.

 원점을 중심으로 하는 한 점의 표현 방법은 코사인과 사인을 통해 표현하는데요, 다음과 같습니다. 반지름이 1이라면 단순히 코사인과 사인에 대한 식만 남겠네요.

 이제 여기서 조금 고급수학이 사용됩니다. 세상에서 가장 아름다운 오일러의 공식을 변형한 건데요. 다음과 같습니다.

 그런데 뜬금없이 이 식이 왜 나왔냐고 물으신다면, 아까 저 n=3일 떄의 해를 예쁘게 표현하기 위해서입니다.

 네! 복소평면 위의 점 (1,0)에서 시작해서 360도, 즉 2파이를 3등분한 결과입니다. 그림은 다음과 같습니다.

 

 마찬가지로 n=4일 떄의 해 1, i, -1, -i도 순서대로 오일러 공식에 0도, 90도, 180도, 270도를 대입한 결과입니다. 일반화를 시키면, 2파이를 n등분한 수를 차례대로 쓴 결과가 되겠네요. 아래 그림은 n=4, 7, 36일 때의 해를 복소평면 위에 나타낸 것입니다. 정확히 각을 n등분한 것을 확인해보세요!

       

 이제 누가 쇼곱하기 쇼는 쇼의 일반해를 구하라 하면 우리는 복소평면을 그린 다음 각도기를 들고 2파이를 n등분만 하면 되는 겁니다! 더 이상 저런 농담을 하는 친구는 없지만요~ :( 그래도 광고 속에 진지한 수학이 들어있다는 사실이 신가히자 않으셨나요? 이만 마치겠습니다.