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[수학]경우의 수 세기

Mariabronn 2017. 8. 31. 13:08


전원을 누르면 60% 확률로 불이 켜지는 전등이 있다. 이 전등 10개를 일렬로 세우고 동시에 전원을 눌렀을 때, 서로 이웃한 전등 3개가 동시에 켜지는 경우가 존재하지 않을 확률을 구하여라.




 이제는 수학도가 아니지만, 그래도 호기심이 동하는 문제를 만나면 제 수준 안에 있는 것들은 풀어보게 됩니다. 머리 좋으신 분들은 단번에 풀이방법이 떠오르겠지만, 저처럼 머리가 좋지 않은 사람들은 경우의 수를 일일이 세어보는 것이 정도입니다.


1. 전등이 하나만 켜지는 경우 (O-1개, X-9개)


 이 경우는 열 가지 자리 중에 O가 들어갈 자리 한 군데만 정해주면 됩니다. 어차피 3개가 연달아 켜지는 경우는 켜지는 전구가 3개 이상일 때부터 나오니까요. 따라서 다음과 같이 나옵니다.





2. 전구가 2개 켜지는 경우 (O-2개, X-8개)


 이 경우 역시 O가 들어갈 자리 두 군데만 정해주면 됩니다. 경우의 수는 45가지겠네요. 확률은 다음과 같습니다.




3. 전구가 3개 켜지는 경우 (O-3개, X-7개)


 여사건으로 경우의 수를 구하면 됩니다. 먼저 O가 들어갈 자리 3개를 골라준 뒤, 셋이 뭉쳐다니는 경우의 수 총 8가지를 빼 주면 됩니다. 따라서 확률은 다음과 같습니다.



4. 전구가 4개 켜지는 경우 (O-4개, X-6개)


 마찬가지로 여사건으로 구해보겠습니다. 우선 전체 경우의 수는 210가지인데, 이웃한 전구 3개가 켜지는 다음 유형을 빼야 합니다.


1) □ OOO ☆ O □


 여기서의 ☆은 저 켜진 전구들 사이에 최소한 하나의 켜지지 않은 전구가 있다는 칸막이의 표시입니다. 반드시 하나 이상의 꺼진 전구가 들어가야 한다는 의미입니다. 반대로 □는 유형의 유지를 위해서 꼭 필요하지는 않은 자리입니다. 다시 말해 저 자리에 꺼진 전구가 있어도 되고, 없어도 되는 자리입니다. 따라서 자유롭게 자리를 정할 수 있는 꺼진 전구의 수는 가운데 칸막이 역할을 하는 필수적인 한 개를 제외하면 5개이고, 전구가 들어갈 수 있는 자리의 수는 3개입니다. 즉 세 자리 중에 중복을 포함하여 5개를 뽑는 경우의 수를 구하는 것입니다. 마지막으로는 좌우대칭이 된  OOO □ 형태도 있으니 2를 곱해주면 됩니다. 따라서 다음과 같습니다.



2) □ OOOO □


 이건 경우의 수가 간단합니다. 꺼진 전구 6개가 두 자리 중에 중복을 포함해서 골라앉으면 되니까요. 총 7가지입니다.


3) 소결


 따라서 전체 210가지에서 49가지를 뺀 161가지가 되겠네요. 확률을 계산하면 다음과 같습니다.



5. 전구가 5개 켜지는 경우 (O-5개, X-5개)


 O와 X를 각각 5개씩 배치하는 경우의 수는 252가지입니다. 마찬가지로 여사건으로 구하겠습니다.


1) □ OOO ☆ O  O 


 ☆과 □의 의미는 위와 동일합니다. 이 경우 의무적으로 칸막이 역할을 해야 하는 꺼진 전구가 2개이므로 자유로운 꺼진 전구는 3개, 고를 수 있는 자리의 수는 4개입니다. 따라서 4자리 중 중복을 포함하여 3개를 뽑아야 하므로 경우의 수는 , 즉 20가지입니다. 그런데 켜진 전구 세 개의 뭉치가 자리잡을 수 있는 것 역시 맨 왼쪽, 가운데, 오른쪽의 세 가지이므로 3을 곱하여 60가지입니다.


2) □ OOO ☆ O


 이 경우 칸막이 역할을 하는 꺼진 전구 1개를 제외하면 자유로운 꺼진 전구는 4개, 고를 수 있는 자리는 3개입니다. 따라서 경우의 수는 ,15이고 마찬가지로 좌우 반전된 유형을 생각하면 2를 곱해서 30가지입니다.


3) □ OOOO ☆ 


 위와 동일합니다. 총 30가지입니다.


4) □ OOOO


 꺼진 전구 5개의 위치를 왼쪽 혹은 오른쪽으로 자유롭게 정해주면 됩니다. 총 6가지입니다.


5) 소결


 따라서 전체 252가지 중 126가지를 빼면 딱 절반인 126가지네요. 확률은 다음과 같습니다.



6. 전구가 6개 켜지는 경우 (O-6개, X-4개)


 전체 경우의 수는 210가지입니다. 마찬가지로 여사건으로 구하겠습니다.


1) □ OOO ☆ OOO 


 고정된 꺼진 전구의 갯수는 하나, 따라서 자유로운 꺼진 전구는 세 개, 고를 수 있는 자리도 세 개입니다. 좌우 반전의 경우는 없으니 총 10가지네요. 이제부터 중복조합 기호는 생략하겠습니다.


2) □ OOO ☆ OO ☆ O 


 고정된 꺼진 전구가 둘, 따라서 자유로운 꺼진 전구는 하나고 고를 수 있는 자리는 넷입니다. 따라서 10가지입니다. 한편 켜진 전구를 배치하는 방법이 3!의 6가지이므로 총 60가지입니다.


3) □ OOO ☆ ☆ O ☆ O 


 고정된 켜진 전구가 셋이나 되므로 자유로운 꺼진 전구는 하나, 고를 자리는 다섯입니다. 따라서 5가지이고 켜진 전구 배치 방법이 4가지이므로 총 20가지입니다.


4) □ OOO☆ O ☆ O 


 2)와 동일하지만 배치 방법이 3가지이므로 총 30가지입니다.


5) □ OOO☆ OO 


 1)과 동일하지만 좌우 반전의 경우가 있으므로 총 20가지입니다.


6) □ OOOOO ☆ O 


 5)와 완전동일, 총 20가지입니다.


7) □ OOOOOO 


 총 5가지입니다.


8) 소결


 전체 210가지에서 다 빼고 나면 4945가지가 남네요. 오히려 이 경우는 여사건을 안 쓰는게 나았을지도 모르겠습니다. 여하튼 확률은 다음과 같습니다.



7. 전구가 7개 켜지는 경우 (O-7개, X-3개)


 이 경우는 여사건을 쓰지 않아도 됩니다. OO ☆ OO ☆ OO ☆ O 유형밖에 없거든요. 꺼진 전구는 강제로 고정되고 켜진 전구 위치 바꾸는 경우가 4가지입니다. 따라서 확률은 다음과 같습니다.



8. 전구가 8개 켜지는 경우 (O-8개, X-2개)


 켜진 전구의 갯수가 8개 이상이 되는 순간 이웃해서 3개의 전구가 안 켜진다는 것은 불가능합니다. 비둘기집 원리 때문입니다. 따라서 경우의 수는 0이고 확률 역시 0입니다.



□ 글을 마치며


 숫자 계산은 계산기만 두드려도 되는 거라서 생략했습니다. 오랜만에 확률 문제를 푸니 재밌네요. 고등학교 교육과정에 중복조합이 없었던 터라 대학 와서 배웠는데, 가물가물했던 기억도 살려보는 기회였습니다. 혹시나 계산 과정에 실수가 있다면 댓글로 알려주세요!

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